湖南成考《数学（理）》难点：指数函数和对数函数

 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.

　　●难点磁场

　　(★★★★★)设f(x)=log2 ,F(x)= +f(x).

　　(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明;

　　(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f-1(n)> ;

　　(3)若F(x)的反函数F-1(x),证明：方程F-1(x)=0有惟一解.

　　●案例探究

　　[例1]已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.

　　(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上;

　　(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

　　命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.

　　知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.

　　(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.

　　错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.

　　技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A的坐标.

　　(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以 ,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1= = 3log8x2,所以OC的斜率：k1= ,

　　OD的斜率：k2= ，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.

　　(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1= log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1= ,则点A的坐标为( ，log8 ).

　　[例2]在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000( )x(0

　　(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式;

　　(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围;

　　(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大?试说明理由.

　　命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级

　　题目.

　　知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.

　　错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.

　　技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.

　　解：(1)由题意知：an=n+ ,∴bn=2000( ) .

　　(2)∵函数y=2000( )x(0bn+1>bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即( )2+( )-1>0,解得a<-5(1+ )或a>5( -1).∴5( -1)

　　(3)∵5( -1)

　　∴bn=2000( ) .数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn-1.于是当bn≥1时，Bn

　　●锦囊妙计

　　本难点所涉及的问题以及解决的方法有：

　　(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.

　　(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.

　　(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.